Um dos tipos mais simples de funções que se constrói mediante a aplicação repetida das operações elementares, adição e multiplicação , são as funções racionais ou polinômios.

Aplicando-se estas operações a uma variável independente x e a um conjunto de números reais ou complexos obtem-se os polinômios:

Onde n é um número natural e x também chamado de variável independente , pode assumir valores reais ou complexos .

Portanto:

n N

C

x C

são chamados Coeficientes .

são chamados Termos.

São exemplos de polinômios as funções constante, do 1º grau e do 2º grau, assim como outras:

Exemplos:

a) , onde:

= 1

= - 6

= 11

= - 6

b) , onde:

= 7

= 0

= - 3

= 0

= 1

 

VALOR NUMÉRICO

Seja o polinômio P( x ) genérico dado por , fazendo-se x = c , obtemos o número complexo , que é denominado valor numérico de P( x ) para x = c .

Chama-se raiz de um polinômio ao valor da variável x para o qual P( x ) = 0 ( P( x ) se anula ) .

Exemplo:

Seja o polinômio:

	P( 0 ) = - 6
	P(- 1 ) = - 24
	P( 1 ) = 0
	P( 2 ) = 0
	P( 3 ) = 0

Logo: 1, 2 e 3 são raízes de P( x ).

Dado o polinômio: que possui pelo menos um coeficiente , diz-se que o polinômio P( x ) possui grau i se, e somente se, e todos os coeficientes , com (coeficientes maiores que i ) são nulos. Quando todos os coeficientes de um polinômio P( x ) são nulos, não define-se o grau de P( x ) .

Exemplos:

a)

Grau de P = 3

b)

Grau de P = 10

c) P( x ) = 0

Não grau de P

No exemplo do item c, temos P( x ) = 0 , neste caso, dizemos que o polinômio é identicamente nulo e define-se P( x ) identicamente nulo se e somente se, todos os seus coeficientes são nulos.

P( x ) 0 = 0

P( x ) 0 lê-se P( x ) idêntico a zero .

P( x ) 0 P( x ) = 0

Identidade entre polinômios

Sejam os polinômios M( x ) e N( x ) conforme abaixo:

M( x ) =

N( x ) =

Podemos afirmar que M e N são idênticos e indicaremos por M( x ) N( x ) se, e somente se, = para qualquer i N.

M( x ) N( x ) = i N

Temos ainda que:

M( x ) N( x ) M( x ) = N( x ) x C

Operações

Sejam M( x ) e N( x ) os polinômios:

M( x ) =

N( x ) =

Define-se a soma de dois polinômios P( x ) = M( x ) + N( x ) como:

ou

P( x ) =

Exemplo:

M( x ) =

N( x ) =

P( x ) = M( x ) + N( x )

P( x ) =

Sejam M( x ) e N( x ) os mesmos indicados anteriormente, define-se o produto de dois polinômios:

P( x ) = M( x ) . N( x ) como:

P( x ) =

O qual é obtido multiplicando-se cada termo de M( x ) , por todos os termos de N( x ) e somando-se os resultados obtidos.

Exemplo:

M( x ) = x - 1 grau 1

grau 2

P( x ) = M( x ) . N( x )

grau 3

Note que no produto de dois polinômios, o grau do produto é igual a soma dos graus dos polinômios multiplicandos, logo se M( x ) tem grau m e N( x ) grau n , então P( x ) = M( x ) . N( x ) terá grau m + n.

Divisibilidade de polinômios

Um polinômio M( x ) de grau m é divisível por outro polinômio N( x ) de grau n , com , se existir um polinômio Q( x ) tal que M( x ) N( x ) . Q( x ) .

Exemplo:

Sejam:

N( x ) = x + 1 grau 1

M( x ) é divisível por N( x ) pois grau M( x ) = 3 , grau de N( x ) = 1 e existe:

 

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum de polinômios

Define-se m.d.c. de polinômios como o produto dos fatores comuns aos mesmos, tomando cada fator uma única vez com o menor expoente com que aparece na decomposição dos polinômios.Define-se m.m.c. de polinômios como o produto dos fatores comuns e não comuns aos mesmos, tomando cada fator uma única vez, com o maior expoente que aparece na decomposição dos polinômios.

Divisão de polinômios

Dados dois polinômios D( x ) e d( x ) 0 , dividir D( x ) por d( x ) , significa obter outros dois polinômios Q( x ) e R( x ) tais que: D( x ) d( x ) . Q( x ) + R( x ) com: grau de R( x ) < grau de d( x ) ou R( x ) 0 onde:

O grau do quociente Q( x ) é dado por:

grau D( x ) = grau ( d( x ) . Q( x ) + R( x ) )

grau D( x ) = grau ( d( x ) . Q( x ) )

pois o grau de R( x ) < grau de d( x ) logo:

grau D( x ) = grau d( x ) + grau Q( x )

grau Q( x ) = grau D( x ) - grau d( x )

Ou seja o grau do quociente é igual a diferença entre os graus do dividendo e do divisor. Podemos obter o quociente e o resto da divisão de dois polinômios pelo método da chave, também conhecido como divisão EUCLIDEANA ou pelo método dos coeficientes a determinar, também conhecido como método de DESCARTES . Poderíamos citar outros métodos, porém, para este estudo bastam os que seguem.

 

Divisão Euclideana

Sejam D( x ) e d( x ) dois polinômios a serem divididos, com D( x ) sendo o dividendo e d( x ) o divisor.

Apresentamos a seguir o algorítmo de EUCLIDES:

1) Ordenar os polinômios D( x ) e d( x ), segundo potências decrescentes de x.

2) Dividir o primeiro termo de D( x ) pelo primeiro termo de d( x ), para obter o primeiro termo de Q( x).

Multiplicar o primeiro termo de Q( x ) obtido por d( x ) e subtrair o resultado desta operação de D( x ).

3) Repetir o segundo passo até que o grau do resto seja menor que o grau de d( x ).

Exemplo:

Efetuar pelo método Euclideano a divisão de:

.

Portanto:

R( x ) = 3x - 2

Método Descartes

Este método consiste em considerar um polinômio genérico:

Q( x ) = onde é indeterminado e k é conhecido, pois sabemos os graus de D( x ) e d( x ).

Logo: k = grau D( x ) - grau d( x ).

Adotaremos um resto genérico.

R( x ) =

Onde é indeterminadado e h é conhecido pois grau de R < grau de d .

Exemplo:

Determinar pelo método de Descartes o quociente e o resto da divisão de:

por .

pois grau Q( x ) = grau D( x ) - grau d( x )

grau Q( x ) = 4 - 3 = 1 e grau R( x ) < grau d( x ), grau R( x ) < 3, grau R( x ) = 2.

Assim temos:

Logo:

= 1

então:

= 2

= - 3

= - 1

= 4

Concluindo temos:

R( x ) =

Teorema de Bézout ou Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ( x -a ) é igual a P(a) .

Demonstração: O quociente da divisão de P(x) por ( x -a ) é um polinômio Q(x) de grau inferior de uma unidade ao do polinômio P(x) e o resto R(x) é um número constante R , assim podemos escrever:

P(x) = ( x -a ) . Q(x) + R

Para x = a temos:

P(a) = (a -a ) . Q(a) + R

Logo: P(a) = R

c.q.d.

Corolário

Se é uma raiz do polinômio P(x) , isto é , se P(a) = 0 , P(x) é divisível por ( x -a ) e pode ser posto sob a forma de produto: P(x) = ( x -a ) . Q(x)

Exemplo:

O polinômio anula-se para x = 1 , ou seja , P(1) = 0 , logo , o polinômio P(x) é divisível por x - 1 .

Assim:

Algorítmo de BRIOT-RUFFINI

Sejam: e o quociente da divisão de P(x) por ( x -a ) , cujo resto denominaremos .

Aplicando a relação fundamental da divisão, temos:

Pelo princípio da identidade de polinômios, efetuando-se o produto e igualando-se membro a membro os coeficientes com a mesma potência, obtemos o algorítmo de BRIOT-RUFFINI.

( resto )

O esquema abaixo é mais prático pois dispõe os coeficientes de forma a economizar tempo com operações:

Para os passos seguintes é só repetir o passo anterior.

Este algorítmo é bastante prático e versátil, podemos aplicá-lo em situações particulares, porém bastante usuais:

Na divisão de P(x) por ax + b

P(x) = ( ax + b ) . Q(x) + R(x)

P(x) = ( x + ) . a . Q(x) + R(x)

Neste caso considere a como sendo - e ou seja, após obter o resultado , divida Q(x) por a .

Exemplo:

P(x) = ( 2x - 1 ) . Q(x) + R

P(x) = ( x - ) . 2 . Q(x) + R

2.Q(x) = Q(x) =

Logo:

então:

e

Se P(x) é divisível por ( x -a ) e o quociente Q(x) da divisão de P(x) por ( x -a ) também é divisível por

( x - a ), então,

P(x) = ( x -a ) . Q(x)

Q(x) = ( x -a ) .

P(x) = ( x -a ) . ( x -a ) .

Neste caso, aplica-se o algorítmo de BRIOT-RUFFINI duas vezes.

Exemplo:

Teorema fundamental da álgebra

Todo polinômio de grau n , com , admite pelo menos uma raiz real ou complexa.Este Teorema é demonstrado em álgebra superior, vamos aqui admití-lo sem demonstração.Com base neste Teorema anterior, demonstra-se o seguinte

Teorema:

Todo polinômio de grau n, , decompõe-se em fatores lineares da forma ( x -a ) e um fator igual ao coeficiente de .

Demonstração:

Seja P(x) um polinômio de grau n dado por:.

Valendo-nos do Teorema Fundamental da Álgebra, este polinômio tem pelo menos uma raiz que denominaremos . Valendo-nos também do teorema de Bézout, podemos escrever:

Onde tem grau n - 1 e também tem uma raiz que denominaremos .

Procedendo-se assim n vezes, teremos;, onde é um polinômio de grau zero , ou seja , uma constante. Essa constante será igual a pois foi o único termo que restou de P(x). Desta forma podemos expressar P(x) da seguinte forma:

Sendo as raízes de P(x).

Observa-se que nenhum outro valor diferente de pode ser raíz do polinômio, visto que nenhum fator do segundo membro se anula para valores diferentes destes.

Logo, todo polinômio de grau n não pode ter mais do que n raízes diferentes.

Raízes Múltiplas

Se alguns fatores da divisão de um polinômio de grau n se repetem, então podemos agrupá-los e decompor o polinômio, da seguinte forma:

Onde:

E neste caso dizemos que é uma raíz de multiplicidade

Exemplo:

P(x) = ( x - 1 ) . ( x - 1 ) . ( x - 2 )

Logo é uma raíz dupla eé uma raíz simples.

Se o polinômio tem uma raíz múltipla de ordem k , então ele tem k raízes iguais.Portanto todo polinômio de grau n, , tem exatamente n raízes reais ou complexas , múltiplas ou não.

Nota:

Até o momento temos tratado do polinômio como função, porém o que foi dito até aqui sobre raízes, vale também para a equação algébrica:

= 0

Raízes Complexas

As raízes de P(x) podem ser reais ou complexas e vale o seguinte Teorema:

Teorema:

Se a + bi é uma raíz complexa de um polinômio P(x) de coeficientes reais, este polinômio tem também como raíz o número conjugado a - bi.

Demonstração:

Seja Z = a + bi raíz de P(x) então: P(Z) = 0

P(Z) =

Lembrando as propriedades dos números complexos:

Ou seja a soma dos conjugados é igual ao conjugado da soma.

Assim:

Utilizando-se as propriedades acima e sabendo-se que o conjugado de um número real é igual a ele mesmo, então:

Logo:

c.q.d.

Conseqüências:

Se o número a + bi é uma raíz múltipla de ordem k de P(x) , então o número conjugado a - bi é também uma raíz múltipla de ordem k . Todo polinômio de coeficientes reais e grau ímpar, admite pelo menos uma raíz real ou um número ímpar de raízes reais. Uma adaptação deste Teorema permite afirmar que se o número irracional é raíz de P(x) , então também será raíz, desde que o polinômio tenha coeficientes racionais e a e b sejam pertencentes a Q .

Relações entre os coeficientes e as raízes de um polinômio

Os coeficientes de um polinômio possuem informações sobre as raízes deste à medida que os relacionam as raízes.

Seja: dividindo-se P(x) por , suas raízes não são alteradas e temos:

1) Define-se a soma das raízes de P(x) , como sendo igual a:

.

2) Define-se a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas,

como sendo igual a .

À seguir teremos os produtos das raízes tomadas três a três, quatro a quatro, e assim por diante.

Produto 3 a 3 igual a:

Produto 4 a 4 igual a :

Finalmente o produto das n raízes do polinômio, é igual a .

Essas relações, associadas a outras ferramentas permitem que avaliemos possíveis raízes de P(x) .

Exemplos:

1) Sejam a , b e a as raízes de um polinômio P(x) de 3º grau, cujo coeficiente de é 1 . Calcular P(1) dado que a + b + c = 7 , a . b + a . c + b . c = 14 e a . b . c = 8 .

Onde:

Portanto: P(1) = 1 - 7 + 14 - 8 = 0

x = 1 é raíz de P(x) .

2)

Sejam as raízes de P(x) , se P(x) tem duas raízes opostas, então:.

Sabemos que:

temos:

c.q.d.

DICA: Você deve ter notado que no item anterior o sinal dos coeficientes do polinômio se alterna entre + e - , para fornecer as relações entre as raízes e os coeficientes. Uma regra prática é lembrar da relação:

e alternar sinais + e - , partindo da maior potência com sinal + .

Raízes Racionais

Um método que permite pesquisar possíveis raízes racionais, consiste em investigar se com p e q inteiros e primos entre si, é raíz de P(x) com coeficientes inteiros sendo com .

Se é raíz de P(x) então pelo Corolário do Teorema de Bézout temos:

Multiplicando ambos os membros por temos:

Assim podemos escrever as duas expressões que seguem:

1)

2)

Sabendo-se que são inteiros, assim como p e q , temos que:

e

Logo:

e

Mas são primos entre si, então p é divisor de e q é divisor de .

Note que se = 1 as possíveis raízes racionais de P(x) são inteiras.

Note também que o método anterior não garante a existência de raízes racionais para P(x) com coeficientes inteiros, somente sugere um critério de pesquisa das mesmas.

Exemplo:

Vamos aplicar o método anterior.

p é divisor de

q é divisor de

Divisores de :

Divisores de :

À partir deste ponto temos que testar as possíveis raízes, vamos adotar a = 2 como possível raíz.

Q(x) possui raízes iguais a ou seja:

Então:

Localização de Raízes Reais em um Intervalo.

(TEOREMA DE BOLZANO WIESTRASS)

Vamos analisar o comportamento de um polinômio P(x) em um intervalo real .

1) Se P(a) e P(b) tem sinais contrários, então P(x) possui um número ímpar de raízes reais no intervalo

.

A informação acima significa que P(x) "cruzou" o eixo x uma vez ou um número ímpar de vezes.

Exemplos:

2) Se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, então P(x) possui um número par de raízes reais ou não existe nenhuma

raíz real no intervalo .

Exemplos:

Exemplo:

P(-1) = - 10

P(1) = 6

P(-1) . P(1) = - 60 < 0

Logo: existe um número ímpar de raízes entre , como o grau de P(x) é igual a 3 , o número máximo de raízes de P(x) também é igual a 3 , portanto podemos ter 1 ou 3 raízes no intervalo .